Modulo

En lo que investigamos en la carpeta y en Internet pudimos sacar la conclusión de que en matemáticas, el valor absoluto o módulo ¹ de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales

La función se define sobre los números reales positivos. Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real ${\displaystyle x\,}$ está definido por:⁴

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}{\text{abs}}:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\\&x&\to &y={\text{abs}}(x)\end{array}}}$

que se expresa:

${\displaystyle {\text{abs}}(x)=|x|=\left\{{\begin{array}{rcl}x,&{\mbox{si}}&x\geq 0\\-x,&{\mbox{si}}&x<0\end{array}}\right.}$

La función identidad es igual a la función signo por el valor absoluto:

${\displaystyle {\text{id}}(x)={\text{sgn}}(x)\;{\text{abs}}(x)}$

Por definición, el valor absoluto de ${\displaystyle x\,}$ siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real ${\displaystyle x\,}$ es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a ladistancia a lo largo de la recta numérica real.

La función valor absoluto es una función continua definida por trozos.

Propiedades fundamentales

${\displaystyle |a|\geq 0}$	No negatividad
${\displaystyle |a|=0\iff a=0}$	Definición positiva
${\displaystyle |ab|=|a||b|\,}$	Propiedad multiplicativa
${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$	Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)
${\displaystyle -|a|\leq a\leq |a|}$

Otras propiedades

${\displaystyle |-a|=|a|\,}$	Simetría
${\displaystyle |a-b|=0\iff a=b}$	Identidad de indiscernibles
${\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}$	Desigualdad triangular
${\displaystyle |a-b|\geq ||a|-|b||}$	(equivalente a la propiedad aditiva)
${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}({\text{si }}\ b\neq 0)}$	Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)
${\displaystyle \left|x\right|'={\text{sgn}}(x)}$	derivada (en el sentido de las distribuciones)

Otras dos útiles inecuaciones son:

• ${\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}$
• ${\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b\vee b\leq a}$

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

${\displaystyle |x-3|\leq 9}$	${\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}$
	${\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}$