Numero primo de Sophie Germain

Un número primo p es un número primo de Sophie Germain si 2p+1 también es un número primo. Ejemplo: con p=2, 2x2+1=5 que también es un número primo. Los números primos de Sophie Germain recibieron su nombre por la matemática francesa que demostró que el Último teorema de Fermat era cierto para estos números, esto es que, si p es un número primo de estas características distinto a 2 entonces no existen soluciones enteras no triviales para la ecuación ${\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}}$.

Se conjetura que existen infinitos números primos de Sophie Germain, pero, al igual que la conjetura de los números primos gemelos, aún no se ha demostrado.

Existen 189 números primos de Sophie Germain en el intervalo [1, 10000] 

   2,    3,    5,   11,   23,   29,   41,   53,   83,   89,  113,  131,
 173,  179,  191,  233,  239,  251,  281,  293,  359,  419,  431,  443,
 491,  509,  593,  641,  653,  659,  683,  719,  743,  761,  809,  911,
 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451,
1481, 1499, 1511, 1559, 1583, 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973,
2003, 2039, 2063, 2069, 2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459,
2543, 2549, 2693, 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023,
3299, 3329, 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779,
3803, 3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391,
4409, 4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, 5171,
5231, 5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, 5849, 5903,
6053, 6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, 6449, 6491, 6521,
6551, 6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, 7103, 7121, 7151, 7193,
7211, 7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, 7823, 7841, 7883, 7901, 8069,
8093, 8111, 8243, 8273, 8513, 8663, 8693, 8741, 8951, 8969, 9029, 9059,
9221, 9293, 9371, 9419, 9473, 9479, 9539, 9629, 9689, 9791

El mayor número primo de Sophie Germain conocido hasta la fecha (abril de 2012) es el ${\displaystyle 18543637900515\cdot 2^{666667}-1}$ que tiene 200701 dígitos y fue hallado en abril de2012 por Philipp Bliedung.

Se ha propuesto una estimación heurística del cardinal del conjunto de los números primos de Sophie Germain menores que x en torno a ${\displaystyle (2C_{2}x)/(\log x)^{2}}$ donde ${\displaystyle C_{2}}$ es laconstante de los números primos gemelos (aproximadamente 0,660161). Pero, para x=10.000, esta estimación indicaría que hay 156 números primos de Sophie Germain, lo que representa una diferencia del 20%. Para valores mayores se puede comprobar que este error relativo disminuye.

La secuencia {p, 2p+1, 2(2p+1)+1, ...} de primos de Sophie Germain también recibe el nombre de cadenas de Cunningham de primera clase.