monomios

  monomios: 

Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término (si hubiera una suma o una resta sería un binomio), un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.

Ejemplos:

${\displaystyle 5x^{4}y^{6}\;,\quad -x\;,\quad 0.5y^{8}w^{12}}$

Son monomios, pero:

${\displaystyle x^{-1}\;,\quad 5x^{3/2}}$

no son monomios, porque los exponentes no son naturales.

Elementos de un monomio:

Un monomio posee una serie de elementos con denominación específica.

Dado el monomio:

${\displaystyle 5x^{3}\;}$

se distinguen los siguientes elementos:

• coeficiente: ${\displaystyle 5\,}$ también incluye al signo
• parte literal (exponente natural): ${\displaystyle x\,}$
• grado: ${\displaystyle 3\,}$

El signo te indica si es negativo (–). Se omite si es positivo (+) , y nunca puede ser cero ya que la expresión completa tendría valor cero.

La parte literal la constituyen las letras de la expresión.

El grado puede ser absoluto (la suma de los exponentes de su parte literal) o con relación a una letra.

Si un monomio carece de signo, equivale a positivo (+).

Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno.

Si algún término carece de exponente, este es igual a uno.

Si alguna parte literal no está presente, pero se requiere, entonces se considera con exponente cero, ya que:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} -\{0\}\;:\quad x^{0}=1}$

Dada una variable ${\displaystyle x\;}$, un numero natural ${\displaystyle a\;}$ y un número real ${\displaystyle \alpha \;}$ la expresión:

${\displaystyle \alpha \cdot x^{a}=\alpha x^{a}}$

es un monomio.

Si tenemos varias variables: ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, el número real ${\displaystyle \alpha \;}$ y los números naturales ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\,}$, el producto correspondiente:

${\displaystyle \alpha \cdot x_{1}^{a_{1}}\cdot x_{2}^{a_{2}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{a_{n}}=\alpha x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\ldots x_{n}^{a_{n}}=\alpha \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}}}$

también es un monomio.

grado de un monomio:

El grado absoluto de un monomio es igual a la suma de los exponentes de las variables que lo componen.

Ejemplos

${\displaystyle 5x^{2}y\;}$ tiene grado 3

pues equivale a la expresión: ${\displaystyle 5\cdot x^{2}\cdot y^{1}\;}$ y la suma de los exponentes es 2 + 1 = 3

${\displaystyle x\;}$ tiene grado 1

pues equivale a ${\displaystyle 1x^{1}\;}$ y respecto de ${\displaystyle x,y\;}$ a la expresión: ${\displaystyle 1x^{1}y^{0}\;}$

${\displaystyle 3y^{2}z\;}$ tiene grado 3

por ser la suma de los grados de los literales: ${\displaystyle 3y^{2}z^{1}\;}$

Monomios semejantes:

Se llaman semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal.

Ejemplo

Son semejantes los monomios:

${\displaystyle {\begin{array}{r}5\,x^{2}y\\a\,x^{2}y\\-7\,x^{2}y\\x^{2}y\end{array}}}$

pues la parte literal de todos ellos es: ${\displaystyle x^{2}y\;}$

Monomios homogéneos:

Son los monomios que tienen el mismo grado absoluto, se emplean en la solución de un cierto tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Operaciones con monomios:

Suma y resta de monomios:

Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes.

El resultado se obtiene sumando o restando sus coeficientes:

Ejemplo

${\displaystyle 5x^{2}y^{3}+8x^{2}y^{3}-3x^{2}y^{3}=10x^{2}y^{3}}$

Si los monomios no son semejantes, el resultado de la suma o resta es un polinomio.

Producto de monomios[editar]

Dos monomios se pueden multiplicar, efectuando el producto de los coeficientes y de las partes literales, respectivamente.

Ejemplos

${\displaystyle (6x^{3})\cdot (-4x^{3})=-24x^{6}}$

${\displaystyle \left(4x^{2}\right)\cdot \left(8x^{3}y\right)=32x^{5}y}$

${\displaystyle \left(5a^{2}b^{3}\right)\cdot \left(-3ab\right)\cdot \left(4b^{2}\right)=-60a^{3}b^{6}}$

${\displaystyle \left({\frac {3}{4}}x^{2}y^{3}\right)\cdot \left({\frac {2}{3}}xy\right)\cdot \left({\frac {30}{48}}x^{5}\right)={\frac {5}{16}}x^{8}y^{4}}$

Cociente de dos monomios:

El cociente de dos monomios será otro monomio sólo cuando la parte literal del dividendo es múltiplo de la parte literal del divisor.

Ejemplos

${\displaystyle {\frac {7x^{2}y}{2xy}}={\frac {7}{2}}x}$

sí es un monomio porque: ${\displaystyle x^{2}y\,}$ es múltiplo de ${\displaystyle xy\,}$;

${\displaystyle {\frac {7x^{2}y}{2xyz}}={\frac {7x}{2z}}={\frac {7}{2}}\;{\frac {x}{z}}={\frac {7}{2}}x\;{\frac {1}{z}}={\frac {7}{2}}xz^{-1}}$

no es un monomio porque: ${\displaystyle x^{2}y\,}$ no es múltiplo de ${\displaystyle xyz\,}$ y el exponente del factor ${\displaystyle z\,}$ (del cociente) no es un número natural.

¿Cuántas veces se puede doblar una hoja de papel?

Seguro que alguna vez han estado aburridos, han tenido una hoja de papel o una servilleta cerquita y te has puesto a doblarla por la mitad tantas veces como has podido. Eso es algo que hemos hecho todos, pero ¿cuántas veces se puede doblar?

EN ESTE BLOG, TE EXPLICAREMOS Y TE MOSTRAREMOS CUANTAS VECES SE PODRÁ DOBLAR UNA HOJA DE PAPEL:

Si haces la prueba verás que seguro has podido doblar el folio 6 veces, si eres fuerte y mañoso quizás hayas llegado a las 7 veces y si, querido lector, eres bastante hábil y fuerte lo habrás doblado en 8 ocasiones.

Podrías pensar que el grosor del papel tomado es demasiado grande, pero a efectos prácticos no será demasiado relevante.

Una hoja de papel estándar tiene un grosor de 0,1 mm (aunque esto puede variar dependiendo de la calidad del papel). Si nos fijamos, al doblar la primera vez estamos multiplicando por 2 el grosor, es decir 0,2 mm. Si realizamos de nuevo la misma operación, volvemos a doblar el grosor, es decir, 0,4 mm. Y así sucesivamente.

El problema lo podemos trasladar a potencias de 2, ya que lleva un crecimiento exponencial de base 2. Por lo tanto doblar el papel 7 veces será equivalente a multiplicar su grosor por 2^7: ¡¡128 veces el grosor original!! Es decir, 12,8 mm, o lo que es lo mismo, 1,28 cm.

Pues bien, aunque durante muchos años se pensó que el máximo de dobleces que se puede realizar son 8, te gustará saber que el récord del mundo está actualmente establecido en ¡¡¡13 veces!!! Fue conseguido en el año 2011 por un grupo de estudiantes de un instituto americano, y para ello realizaron el experimento con una banda de papel higiénico de 16 kilómetros de largo.

Para que nos hagamos una idea, esos 13 movimientos aplicados a nuestro experimento con un grosor de 0,1mm, darían como resultado: 0,1*2^13=0,1*8192=819,2 mm. Es decir, casi 82 cm de altura tomaría el papel doblado, algo que con las dimensiones de un folio es imposible de conseguir.

Las fracciones.

En matemáticas, una fracción es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción común, fracción vulgar o fracción decimal. Las fracciones comunes se componen de: numerador, denominador y línea divisora entre ambos (barra horizontal u oblicua). En una fracción común ${\displaystyle a/b}$ el denominador "b" expresa la cantidad de partes iguales que representan la unidad, y el numerador "a" indica cuántas de ellas se toman.

en este ejemplo se resalta 1/4 de el entero .




  El conjunto matemático que contiene a las fracciones de la forma a/b, donde a y b son números enteros y b≠0 es el conjunto de los números racionales, denotado como ℚ.
De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente cualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números).


 Hay distintos tipos de fracciones:


${\displaystyle {\tfrac {1}{3}},\;{\tfrac {3}{8}},\;{\tfrac {3}{4}}}$Fracción simple:Las fracciones comunes pueden clasificarse en propias e impropias. Una fracción propia es aquella en la que, si numerador y denominador son positivos, el numerador es menor que el denominador,



 Por el contrario, una fracción impropia será la fracción en donde el numerador es mayor que el 
denominador

Número mixto

Un número mixto es la representación de una fracción impropia, en forma de número entero y fracción propia; es una manera práctica de escribir unidades de medida (peso, tiempo, capacidad), recetas de cocina, etc

 

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

-Una Expresión Algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.

-Ejemplos:

a)  2xy + 1x

b) 16t. (4t + 2b)

c) -4m - 2x - 7m

d) (4ab) : (16ba)

e) 4t + 7a + 2t = 6t + 7a 

LAS ECUACIONES

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones matemáticas, denominadas miembros, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones

la variable ${\displaystyle x}$ representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.

Hípaso de Metaponto

Hípaso de Metaponto fue un matemático, teórico de la música y filósofo presocrático, miembro de la Escuela pitagórica. Nació en torno al año 500 A.C en Metaponto, ciudad griega de la Magna Grecia situada en el Golfo de Tarento, al sur de la Italia actual. Se encuentra entre los más renombrados de los pitagóricos de la época más temprana. Se le atribuyen tres importantes descubrimientos: La construcción de un dodecaedro inscrito en una esfera, el descubrimiento de la inconmensurabilidad y la determinación de las relaciones numéricas de las consonancias básicas a través de experimentos de sonido.

Se cree que fue él quien probó la existencia de los números irracionales, en un momento en el que los pitagóricos pensaban que los números racionales podían describir toda la geometría del mundo. Hípaso de Metaponto habría roto la regla de silencio de los pitagóricos revelando al mundo la existencia de estos nuevos números. Eso habría hecho que éstos lo expulsaran de la escuela y erigieran una tumba con su nombre, mostrando así que para ellos, él estaba muerto.

Los documentos de la época dan versiones diferentes de su final. Parece ser que murió en un naufragio en circunstancias misteriosas; algunos dicen que se suicidó como autocastigo, dejando así libertad a su alma para ir a buscar la purificación en otro cuerpo; otros afirman que un grupo de pitagóricos lo mataron, y otros, que fingieron su muerte y seguía estando en la escuela pitagórica en secreto, para imponer miedo a quienes revelaran información, ya que Hípaso era un miembro importante de la escuela pitagórica.

Los Números Reales y Sus propiedades

El conjunto de números reales (R) esta formado por los números irracionales (I) y los racionales (Q). Dentro de estos también se encuentran los enteros (Z), y entre los enteros, los naturales: N = {0, 1, 2, 3, ...}. A excepción del numero 0, que no tiene inverso, el opuesto y el inverso de cualquier otro numero real son únicos.                                                                                                                              Si, a = -3, su opuesto es -a = 3 y su inverso es 1/a = 1/-3 = - 1/3.                                                                                                                                                                                                                                 Propiedades     /                    Adición                /                 Multiplicación                                               Asociativa    /     (a+b) + c = a + (b+c)          /         (a . b) . c = a . (b . c)                                                 Elemento Neutro         /          a + 0 = a            /            a . 1 = a                                                               Elemento Opuesto/Inverso  /   a + (-a) = 0     /          a . (1/a) = 1                                                             Conmutativa      /            a + b = b + a     /                   a . b = b . a                                                             Distributiva            /              a . (b + c) = a . b + a . c