Los Números Reales y Sus propiedades

El conjunto de números reales (R) esta formado por los números irracionales (I) y los racionales (Q). Dentro de estos también se encuentran los enteros (Z), y entre los enteros, los naturales: N = {0, 1, 2, 3, ...}. A excepción del numero 0, que no tiene inverso, el opuesto y el inverso de cualquier otro numero real son únicos.                                                                                                                              Si, a = -3, su opuesto es -a = 3 y su inverso es 1/a = 1/-3 = - 1/3.                                                                                                                                                                                                                                 Propiedades     /                    Adición                /                 Multiplicación                                               Asociativa    /     (a+b) + c = a + (b+c)          /         (a . b) . c = a . (b . c)                                                 Elemento Neutro         /          a + 0 = a            /            a . 1 = a                                                               Elemento Opuesto/Inverso  /   a + (-a) = 0     /          a . (1/a) = 1                                                             Conmutativa      /            a + b = b + a     /                   a . b = b . a                                                             Distributiva            /              a . (b + c) = a . b + a . c                                                                                                     

Número irracional:

En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado, como una fracción. Es cualquier número real que no es racional. Un decimal infinito (es decir, con infinitas cifras) a periódico, como √7 = 2,645751311064591 no puede representar un número racional. A tales números se los nombra «números irracionales». Esta denominación significa la imposibilidad de representar dicho número como razón de dos números enteros. 

Historia:

Dado que en la práctica de medir la longitud de un segmento de recta solo puede producir como resultado un número fraccionario, en un inicio, los griegos identificaron los números con las longitudes de los segmentos de recta.² Al identificar del modo mencionado, surge la necesidad de considerar una clase de números más amplia que la de los números fraccionarios. Se atribuye a Pitágoras de Samos (580- 500 a. C.) y su escuela el descubrimiento de la existencia de segmentos de recta inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medición. Pues, existen segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema no es un número fraccionario.²

Por ejemplo, en un cuadrado, la diagonal de este es inconmensurable con respecto a sus lados. Este hecho ocasionó una convulsión en el mundo científico antiguo. Provocó una ruptura entre la geometría y la aritmética de aquella época, ya que esta última, por entonces, se sustentaba en la teoría de la proporcionalidad, la cual solo se aplica a magnitudes conmensurables.

Intentaron salvar el obstáculo distinguiendo entre el concepto de número y el de longitud de un segmento de recta, y tomaron estos últimos como elementos básicos para sus cálculos. De tal modo, a los segmentos inconmensurables con respecto a la unidad tomada como patrón de medida les asignaron un nuevo tipo de magnitud: los números irracionales, los cuales por largo tiempo no se reconocieron como verdaderos números.

Notación:

No existe una notación universal para indicarlos, como ${\displaystyle \mathbb {I} }$, que es generalmente aceptada. Las razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituyen algunas estructura algebraica, como sí lo son los naturales (${\displaystyle \mathbb {N} }$), los enteros (${\displaystyle \mathbb {Z} }$), los racionales (${\displaystyle \mathbb {Q} }$), los reales (${\displaystyle \mathbb {R} }$) y los complejos (${\displaystyle \mathbb {C} }$), por un lado, y que la ${\displaystyle \mathbb {I} }$ es tan apropiada para designar al conjunto de Números Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusión. Fuera de ello,

${\displaystyle \mathbb {I} :=\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {R} |x\notin \mathbb {Q} \}}$

Clasificación:

Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías (no excluyentes): (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aún quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales. Debe notarse que aquí se está entendiendo como "recta real" el conjunto de las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales. Puede demostrarse que el límite de algunas de esas sucesiones (de hecho la mayor parte de ellas), no es un número racional, por lo que si no se consideraran racionales existirían "huecos" en el conjunto de límites.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales a periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como una fracción decimal a periódica infinita.³ En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas.

Entonces, se dice con toda propiedad que el número √2 es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir. Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:

1. ${\displaystyle \pi }$ (Número "pi" 3,14159...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
2. e (Número "e" 2,7182...): ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$
3. ${\displaystyle \Phi }$ (Número "áureo" 1,6180...): ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Propiedades:

• La suma y la diferencia de un número racional y de un número irracional es un número irracional.
• El producto de un racional diferente de cero por un irracional es un número irracional.
• El cociente entre un racional no nulo y un irracional, es un número irracional.
• El inverso de un número irracional es número irracional.
• Sea un binomio, formado por un racional más un radical de segundo orden, o la suma de dos radicales de segundo orden, que es irracional. Entonces su conjugado es irracional.
• Los valores de logaritmos vulgares o naturales y los valores de las razones trigonométricas, la inmensa mayoría no numerable, son irracionales.
• El número de Gelfond (2^√2) es un número irracional trascendente
• La raíz cuadrada de un número natural no cuadrado perfecto es un número irracional; también lo es la raíz enésima de un natural p que no es potencia enésima perfecta.
• Entre dos racionales distintos, existe por lo menos, un número irracional
• Las razones trigonométricas de un ángulo son irracionales, excepcional mente, una de ellas en el caso de que dos de los lados del triángulo rectángulo sean racionales.
• La medida de Lebesgue de cualquier intervalo cerrado del tipo ${\displaystyle \scriptstyle [a,b]\cap \mathbb {I} \subset \mathbb {R} }$ es igual a la medida b-a. Eso implica que si existiera un procedimiento para seleccionar al azar un número de dicho intervalo, con probabilidad 1 el número obtenido sería irracional.
• Cualquier número irracional que está en un intervalo abierto de números reales es punto de acumulación de los números reales de tal intervalo, como de los números irracionales del mismo. Por ejemplo: √5 es punto de acumulación de los números reales del intervalo K = <1;4>, como también de los números irracionales de K. 
• El conjunto de los números irracionales es equivalente (tienen el mismo cardinal) al conjunto de los números reales.⁷

Modulo

En lo que investigamos en la carpeta y en Internet pudimos sacar la conclusión de que en matemáticas, el valor absoluto o módulo ¹ de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales

La función se define sobre los números reales positivos. Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real ${\displaystyle x\,}$ está definido por:⁴

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}{\text{abs}}:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\\&x&\to &y={\text{abs}}(x)\end{array}}}$

que se expresa:

${\displaystyle {\text{abs}}(x)=|x|=\left\{{\begin{array}{rcl}x,&{\mbox{si}}&x\geq 0\\-x,&{\mbox{si}}&x<0\end{array}}\right.}$

La función identidad es igual a la función signo por el valor absoluto:

${\displaystyle {\text{id}}(x)={\text{sgn}}(x)\;{\text{abs}}(x)}$

Por definición, el valor absoluto de ${\displaystyle x\,}$ siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real ${\displaystyle x\,}$ es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a ladistancia a lo largo de la recta numérica real.

La función valor absoluto es una función continua definida por trozos.

Propiedades fundamentales

${\displaystyle |a|\geq 0}$	No negatividad
${\displaystyle |a|=0\iff a=0}$	Definición positiva
${\displaystyle |ab|=|a||b|\,}$	Propiedad multiplicativa
${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$	Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)
${\displaystyle -|a|\leq a\leq |a|}$

Otras propiedades

${\displaystyle |-a|=|a|\,}$	Simetría
${\displaystyle |a-b|=0\iff a=b}$	Identidad de indiscernibles
${\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}$	Desigualdad triangular
${\displaystyle |a-b|\geq ||a|-|b||}$	(equivalente a la propiedad aditiva)
${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}({\text{si }}\ b\neq 0)}$	Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)
${\displaystyle \left|x\right|'={\text{sgn}}(x)}$	derivada (en el sentido de las distribuciones)

Otras dos útiles inecuaciones son:

• ${\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}$
• ${\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b\vee b\leq a}$

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

${\displaystyle |x-3|\leq 9}$	${\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}$
	${\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}$