Sumas y restas

DEFINICIÓN DESUMAUna suma  es el agregado de cosas. El término hace referencia a la acción y efecto de sumar o añadir. Aunque el concepto no siempre se encuentra relacionado con las matemáticas, a través de ellas puede comprenderse directa y claramente; en esta ciencia se entiende la suma como una operación que permite añadir una cantidad a otra u otras homogéneas 
Como operación matemática, la suma o adhesión consiste en añadir dos números o más para obtener una cantidad total. El proceso también permite reunir dos grupos de cosas para obtener un único conjunto. Por ejemplo: si tengo tres manzanas y tomo otras dos, tendré cinco manzanas (3+2=5). Lo mencionado respecto a las cantidades homogéneas hace referencia a que, si a cinco manzanas le sumo cuatro peras, obtendré como resultado nueve, pero no nueve manzanas o nueve peras. La operación lógica es la misma (5+4=9), pero las cantidades no son homogéneas, a menos que se agrupen las manzanas y las peras en el conjunto de las frutas
                                                                 
Es importante señalar que la suma y la resta son las operaciones matemáticas más básicas y las primeras que se aprenden durante la infancia; la forma más sencilla de contar consiste en la acción repetitiva de sumar uno (1+1+1+1=4).. Las cuáles a su vez cuentan con su par complejo, en el caso de la suma su par es la multiplicación  y en el de la resta , la división 
                                                                    LAS LEYES DE LA SUMA 

La suma posee diversas propiedades, las cuales se encuentran clasificadas dentro de las leyes que la sostienen que son 5 y se conocen con los siguientes nombres: Ley conmutativa, Ley de uniformidad, Ley asociativa, Ley disociativa y Ley de monogamia.

Es conmutativa (el orden de los factores no altera el resultado: 4+3=7, 3+4=7), disociativa (no se altera si se descomponen los diversos sumando y se suman de formas diferentes. Se considera que esta ley es recíproca de la asociativa), asociativa  (el producto de varios números no varía si se sustituye a algunos de sus factores por su producto) y distributiva  (la suma de dos números multiplicada por un tercero es igual a la suma de cada uno de estos números multiplicado por el tercer número). Además posee un elemento neutro (4+0= 4, 0+8=8) y un elemento opuesto (para cualquier número existe otro opuesto cuya suma da como resultado cero).

A su vez, la suma permite sumar elementos de conjuntos diferentes, en este caso deben tenerse en cuenta una serie de pasos a fin de realizar correctamente la operación.

En el principio de adición deben analizarse detenidamente cada uno de los elementos. El cardinal del conjunto es el número de elementos con que éste cuenta y se representa con la letra A. Para sumar los elementos que hay entre dos o más conjuntos debe primero aislarse aquéllos que son comunes a ambos. De este modo, una vez que se sabe cuál es la cantidad de elementos compartidos, debe sumarse lo que cada conjunto tiene por separado y restar dichos elementos comunes. En el caso de tener más de dos conjuntos, debe restarse el cardinal y finalmente sumar la intersección entre todos.

Es importante señalar que el concepto también se encuentra presente en diversas frases coloquiales que no están relacionadas con las matemáticas. Por ejemplo, decirle a alguien que realice algo “con sumo cuidado” o “con suma cautela” significa que se le pide que lo haga de forma delicada, sabiendo anteponerse a los peligros que pudieran presentarse. Puede decirse también “En suma…” como un sinónimo de las frases: “A fin de cuentas” o “En definitiva”.

DEFINICIÓN DERESTA

La resta, también conocida como sustracción, es una operación que consiste en sacar, recortar, empequeñecer, reducir o separar algo de un todo. Restar es una de las operaciones esenciales de la matemática y se considera como la más simple junto a la suma , que es el proceso inverso.
La resta consiste en el desarrollo de una descomposición: ante una determinada cantidad, debemos eliminar una parte para obtener el resultado, que recibe el nombre diferencia. Por ejemplo: si tengo nueve peras y regalo tres, me quedaré con seis peras (9-3=6). En otras palabras, a la cantidad nueve le quito tres y la diferencia será seis. El primer número se conoce como minuendo y el segundo, como sustraendo; por lo tanto: minuendo – sustraendo = diferencia.

                                                                          

Restar es inverso a sumar: a + b = c, mientras que c – b = a (3 + 6 = 9, 9 – 3 = 6). Es importante tener en cuenta que, en el marco que brindan los números naturales, sólo es posible restar dos números siempre que el primero (minuendo) sea más grande que el segundo (sustraendo). Si esto no se cumple, la diferencia (el resultado) que obtendremos será un número negativo (no natural): 5 – 4 = 1, 4 – 5 = -1.

La posibilidad de restar dos números naturales y obtener un número negativo hace que la resta sea una operación un poco más compleja que la suma, donde una operación con dos números positivos nunca dará como resultado otro negativo.

La resta en la matemática avanzada, por lo tanto, no consiste en sustraer, sino en realizar una suma del número opuesto: no se utiliza la fórmula x – y, sino x + (-y). En este caso, -y es el elemento que resulta opuesto a y frente a la suma.

A veces las restas dan resultados menos gráficos que en la aritmética de popular conocimiento, acostumbrada a operar con unidades de moneda o gramos de alimentos. Cuando se sustraen dos vectores, por ejemplo, éstos ni siquiera tienen por qué ubicarse sobre la misma recta. Si entendemos que cada vector posee un origen y un extremo, entonces la diferencia entre ambos tendrá origen en el extremo del minuendo y extremo en del sustraendo.


En el caso de las fracciones, la resta se vuelve más complicada, dado que generalmente no se trata de una operación directa y que requiere de una mayor abstracción. Los casos más sencillos son aquellos en los que el segundo componente, llamado denominador, es igual en todas las fracciones que participarán de la sustracción; si tenemos, por ejemplo, 4/20 y deseamos restarle 3/20, no tendremos que hacer otra cosa que restar sus numeradores, en este caso 4 y 3, para obtener el siguiente resultado: 1/20, el cual se lee un veinteavo.

Por otro lado, si tuviéramos la necesidad de realizar la operación 4/8 – 1/6, deberíamos agregar un paso para obtener dos fracciones compatibles, o sea, de igual denominador. Para ello, buscaremos el mínimo común múltiplo de 8 y 6, que en este caso no nos tomará mucho trabajo; el número buscado es 24, que se consigue con las cuentas 8 x 3 y 6 x 4. Antes de pasar a la sustracción de las fracciones, es absolutamente necesario calcular los nuevos numeradores, aquéllos que en combinación con el común denominador reflejen las proporciones originales.

La fórmula para dicha adaptación es muy sencilla: primero dividimos el común denominador por el original y multiplicamos el resultado por el numerador. Utilizando la primera de las fracciones antes mencionadas, el cálculo se vería de la siguiente manera: 4 * 24 / 8 = 12 (nuevo numerador). Una vez que obtenemos ambos numeradores, es posible realizar la resta como se explicó anteriormente, lo que nos dará: 12/24 – 4/24 = 8/24, que se lee ocho veinticuatro avos.

Historia de la matemática

La historia de las matemáticas es el área de estudio de investigaciones sobre los orígenes de descubrimientos en matemáticas, de los métodos de la evolución de sus conceptos y también en cierto grado, de los matemáticos involucrados. El surgimiento de la matemática en la historia humana está estrechamente relacionado con el desarrollo del concepto de número, proceso que ocurrió de manera muy gradual en las comunidades humanas primitivas. Aunque disponían de una cierta capacidad de estimar tamaños y magnitudes, no poseían inicialmente una noción de número. Así, los números más allá de dos o tres, no tenían nombre, de modo que utilizaban alguna expresión equivalente a "muchos" para referirse a un conjunto mayor.

El siguiente paso en este desarrollo es la aparición de algo cercano a un concepto de número, aunque muy incipiente, todavía no como entidad abstracta, sino como propiedad o atributo de un conjunto concreto. Más adelante, el avance en la complejidad de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la matemática. Los problemas a resolver se hicieron más difíciles y ya no bastaba, como en las comunidades primitivas, con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del conjunto contado, sino que llegó a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores, cuantificar el tiempo, operar con fechas, posibilitar el cálculo de equivalencias para el trueque. Es el momento del surgimiento de los nombres y símbolos numéricos.

Antes de la edad moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz solo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de barro Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), el papiro de Moscú (c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (c. 1650 a. C.) y los textos védicos Shulba Sutras (c. 800 a. C.). En todos estos textos se menciona el teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo matemático después de la aritmética básica y la geometría.

Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.

Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron amplia mente desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia. La matemática en el islam medieval, a su vez, desarrolló y extendió las matemáticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en la Edad Media. Desde el renacimiento italiano, en el siglo XV, los nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, han ido creciendo exponencial mente hasta el día de hoy.

Algunos de los sistemas matematicos en la antigüedad:

                               SISTEMA CHINO DE NUMERACIÓN CON VARILLAS

                                                           TABLA DE ARCILLA

                                                          PAPIRO DE MOSCÚ

                                                                              

Los problemas son textos especiales

Cuando se lee el enunciado de un problema es importante tener en cuenta que se trata de un tipo de texto especial.En él, ejemplo, es importante prestar atención al uso de los signos de puntuación. Una incorrecta interpretación del texto de un problema deriva, indefectiblemente, en una respuesta errónea.

Compara estos dos problemas:

A) Para una fiesta se encargaron 30 litros de bebida. Se consumió la tercera parte de los 30 litros mas 6 litros. ¿Cuantos litros quedaron?.

B) Para una fiesta se encargaron 30 litros de bebida. Se consumió la tercera parte de los 30 litros, mas 6 litros. ¿Cuantos litros quedaron?.

A) En este problema, se consumió 1/3 de la suma entre 30 litros y 6 litros: 

1/3 de (30 litros+6 litros) = 1/3 de 36 litros = 12 litros.

Quedaron 30 litros - 12 litros, es decir, 18 litros.

B) En este problema, la coma indica que la tercera parte fue aplicada a los 30 litros solamente, y luego se sumaron 6 litros.

1/3 de 30 litros + 6 litros = 10 litros + 6 litros = 16 litros.

Quedaron 30 litros - 16 litros, es decir, 14 litros

El Número π "Pi"

Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes.El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física.

La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego περιφέρεια 'periferia' y περίμετρον 'perímetro' de un círculo.

Un gran número de científicos intentaron llegar a la mayor aproximación 

  

Para que se entienda lo que es pi: